Question

已知各项均为正数的数列{an}中，a1=1，Sn为数列{an}的前n项和．（Ⅰ）若数列{an}，{an2}都是等差数列，求

已知各项均为正数的数列{an}中，a1=1，Sn为数列{an}的前n项和．（Ⅰ）若数列{an}，{an2}都是等差数列，求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若2Sn＝an2+an，试比较1a1a2+1a2a3+…+1anan+1与1的大小．

Answer 1

（Ⅰ）∵数列{a_n}，{an2}都是等差数列，设数列{a_n}的公差为d，
∴2a22=a12+a32，∴2（a₁+d）²=a12+（a₁+2d）²，
∵a₁=1，∴2（1+d）²=1+（1+2d）²，
整理，得2d²=0，∴d=0，∴a_n=1．…5分
（Ⅱ）由于2Sn＝an2+an①
当n≥2时，2Sn?1＝an?12+an?1②
由①-②得：an+an?1＝

a

2 n

?an?12，
又a_n＞0∴an?an?1＝1 (n≥2，n∈N*)，…10分
又a₁=1，∴a_n=n；
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=（1-

1

2

）+（

1

2

?

1

3

）+…+（

1

n

?

1

n+1

）
=1-

1

n+1

＜1．…13分．