Question

在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*，（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=nan-n2，求数列 {b

在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*，（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=nan-n2，求数列 {bn}的前n项和Sn；（Ⅲ）设{an}的前n项和为Sn，证明：不等式Tn+1≤4Tn对任意n∈N*均成立．

Answer 1

（Ⅰ）由题设a_n+1=4a_n-3n+1，得a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），n∈N*
又a₁-1=1≠0
∴

an+1?(n+1)

an?n

＝4…（3分）
∴数列{a_n-n}是首项为1，且公比为4的等比数列
∴a_n-n=4^n-1即a_n=4^n-1+n（n∈N*）…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=n（a_n-n）=n?4^n-1…（5分）
∴S_n=1?4⁰+2?4¹+3?4²+…n?4^n-1…①
 4S_n=1?4¹+2?4²+3?4³+…（n-1）?4^n-1+n?4ⁿ…②…（6分）
由①-②得：-3S_n=1+4+4²+…4^n-1-n?4ⁿ…（7分）
=

1?4n

1?4

?n?4n＝

4n?1

3

?n?4n…（8分）
∴Sn＝

1?4n

9

+

n?4n

3

=

(3n?1)?4n+1

9

…（9分）

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）a_n=4^n-1+n
∴数列{a_n}的前n项和Tn＝(1+4+42+…+4n?1)+

n(n+1)

2

=

1?4n

1?4

+

n(n+1)

2

=

4n?1

3

+

n(n+1)

2

…（11分）
∴对于任意的n∈N*，
Tn+1?4Tn＝

4n+1?1

3

+

(n+1)(n+2)

2

?

4(4n?1)

3

?

4n(n+1)

2

…（12分）
=1+

(n+1)(n+2?4n)

2

＝

(n+1)(?3n+2)

2

+1=

?3n2?n+2

2

+1＝?

1

2

(3n2+n?4)≤0…（13分）
即T_n+1≤4T_n对于?n∈N*成立…（14分）