Question

已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，左右顶点分别为A、C，上顶点为B，过F，B，C三点作圆P，其中

已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，左右顶点分别为A、C，上顶点为B，过F，B，C三点作圆P，其中圆心P的坐标为（m，n）．（Ⅰ）当m+n≤0时，椭圆的离心率的取值范围．（Ⅱ）直线AB能否和圆P相切？证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）由题意FC，BC的中垂线方程分别为x＝

a?c

2

，y?

b

2

＝

a

b

(x?

a

2

)，
于是圆心坐标为(

a?c

2

，

b2?ac

2b

)．（4分）
m+n=

a?c

2

+

b2?ac

2b

≤0，即ab-bc+b²-ac≤0，
即（a+b）（b-c）≤0，所以b≤c，于是b²≤c²＞c^即a²≤2c²，
所以e2≥

1

2

，又0＜e＜1，∴

2

2

≤e＜1．（7分）
（Ⅱ）假设相切，则k_AB?k_PB=-1，（9分）
∵kPB＝

b? b2?ac 2b

0? a?c 2

＝

b2+ac

b(c?a)

，kAB＝

b

a

，∴kPB?kAB＝

b2+ac

a(c?a)

＝?1，（11分）
∴a²-c²+ac=a²-ac，即c²=2ac，∵c＞0，∴c=2a这与0＜c＜a矛盾．
故直线AB不能与圆P相切．（13分）