设函数f（x）=x2+ax-lnx．（Ⅰ）若a=1，试求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）求经过坐标原点0的曲线y=f（x）的
设函数f（x）=x2+ax-lnx．（Ⅰ）若a=1，试求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）求经过坐标原点0的曲线y=f（x）的切线方程；（Ⅲ）令g（x）=f(x)ex，若函数g...
设函数f（x）=x2+ax-lnx．（Ⅰ）若a=1，试求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）求经过坐标原点0的曲线y=f（x）的切线方程；（Ⅲ）令g（x）=f(x)ex，若函数g（x）在区间（0，1]上是减函数，求a的取值范围．
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（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2+x-lnx．x∈（0，+∞）
∴f′（x）=2x+1-
=
．
令f′（x）=0，解得x=
，
当0＜x＜
，时，f′（x）＞0，当x＞
时f′（x）＜0，
∴f（x） 在x=
处取得极小值
+ln2；
（Ⅱ）设切点为M（t，f（t）），f′（x）=2x+a-
；
切线的斜率k=2t+a-
，又切线过原点，
∴k=
故
=2t+a-
，
即t2+at-lnt=2t2+at-1，
∴t2+lnt-1=0，
t=1满足方程t2+lnt-1=0，设h（t）=t2+lnt-1，
∴h′（t）=2t+
，
∴h′（t）=2t+
＞0．h（t）在（0．+∞）递增，且 h（1）=0，方程t2+lnt-1=0有唯一解t=1．切点的横坐标为1； 切点为（1，1+a），
∴k=a+1，
所以所求切线方程为y=（a+1）x；
（Ⅲ）g′（x）=
，若函数g（x）在区间（0，1]上是减函数，
则?x∈（0，1]，g′（x）≤0，
即f′（x）≤f（x），
所以x2-2x+
-lnx+a（x-1）≥0，
设F（x）=x2-2x+
-lnx+a（x-1），
∴F′（x）=2x-2-
-
+a=
-2+a，
若a≤2，则F′（x）≤0，F（x）在（0，1]递减，F（x）≥F（1）=0
即不等式f′（x）≤f（x），?x∈（0，1]恒成立
若a＞2，设G（x）=2x-2-
-
，
∴G′（x）=2+
∴f′（x）=2x+1-
| 1 |
| x |
| (2x?1)(x+1) |
| x |
令f′（x）=0，解得x=
| 1 |
| 2 |
当0＜x＜
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴f（x） 在x=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
（Ⅱ）设切点为M（t，f（t）），f′（x）=2x+a-
| 1 |
| x |
切线的斜率k=2t+a-
| 1 |
| t |
∴k=
| f(t) |
| t |
故
| f(t) |
| t |
| 1 |
| t |
即t2+at-lnt=2t2+at-1，
∴t2+lnt-1=0，
t=1满足方程t2+lnt-1=0，设h（t）=t2+lnt-1，
∴h′（t）=2t+
| 1 |
| t |
∴h′（t）=2t+
| 1 |
| t |
∴k=a+1，
所以所求切线方程为y=（a+1）x；
（Ⅲ）g′（x）=
| f′(x)?f(x) |
| ex |
则?x∈（0，1]，g′（x）≤0，
即f′（x）≤f（x），
所以x2-2x+
| 1 |
| x |
设F（x）=x2-2x+
| 1 |
| x |
∴F′（x）=2x-2-
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x |
| (1?x)(2x2+2x+1) |
| x2 |
若a≤2，则F′（x）≤0，F（x）在（0，1]递减，F（x）≥F（1）=0
即不等式f′（x）≤f（x），?x∈（0，1]恒成立
若a＞2，设G（x）=2x-2-
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x |
∴G′（x）=2+
| 2 |
x
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