Question

若n阶方阵A相似于对角阵，则（　　）A．A有n个不同的特征值B．A为实对称阵C．A有n个线性无关的特征向量D

若n阶方阵A相似于对角阵，则（　　）A．A有n个不同的特征值B．A为实对称阵C．A有n个线性无关的特征向量D．r（A）=n

Answer 1

①选项A和B．假设A＝

?2 1 1 0 2 0 ?4 1 3

，容易求得A的特征值为λ₁=-1，λ₂=λ₃=2
且，属于λ₁=-1的一个特征向量为

1 0 1

；属于λ₁=-1，λ₂=λ₃=2的两个线性无关的特征向量为

1 4 0

和

1 0 4

∴存在可逆矩阵P＝

1 1 1 0 4 0 1 0 4

，使得P?1AP＝

?1 0 0 0 2 0 0 0 2

而A只有两个不同的特征值，A也不是对称矩阵
故A和B错误；
②选项C．教材上的定理“据n阶矩阵与对角矩阵相似的充要条件为矩阵有n个线性无关的特征向量”
故C正确．
③选项D．假设A＝

0 0 0 0

，容易求得A的特征值λ₁=λ₂=0，特征向量可以是2个任意线性无关的二维向量，如

1 0

和

0 1

这样也存在可逆矩阵P=E₂，使得P?1AP＝

0 0 0 0

而r（A）=0
故D错误；
故选：C