Question

高中数学题目 ，函数题

设实数X,Y 满足方程 9X^2 + 4Y^2 -3X +2Y = 0 , 则 Z = 3X +2Y 的最大值为:____.
答案: 1.
标准答案我有,我需要回答的是:
我用线性规划做的,可是算不出答案,是方法错误还是计算错误?

Answer 1

答题过程：
9X^2 + 4Y^2 -3X +2Y=(3x-1/2)^2+(2y+1/2)^2-1/2=0
-->(3x-1/2)^2+(2y+1/2)^2 =1/2
设3x-1/2=a,2y+1/2=b
则有:
a*a+b*b=1/2
Z=a+b
到这一步应该有很多方法解题了.:(
第一种:运用a*a+b*b>=2*a*b解题
Z*Z=a*a+b*b+2*a*b=1/2+2*a*b<=1/2+a*a+b*b=1
-1<=Z<=1
因此Z的最大值是1，最小值是-1。

第二种：几何图形解题（因为不能插入图片，图片省略，只说思路）
圆与直线相切在坐标轴上的截距即为最大最小值

第三种：

a*a+b*b=1/2
Z=a+b
令a=sin45*cos@，b=cos45*sin@
Z=a+b=sin45*cos@+cos45*sin@=sin(@+45）
-1<=Z<=1

第四种：高等数学知识（费马定理）
Z(x)=3X +2*Y(x)取最大值的时候有：
Z'(x)=3+2*Y'(x)=0
-->Y'(x)=-3/2
对9X^2 + 4Y^2 -3X +2Y = 0求导有：
-->18*x+8*y*Y'(x)-3+2*Y'(x)=0
将Y'(x)=-3/2带入d得：
-->18*x-12y=6
-->3x-2y=1
上式与Z = 3X +2Y联立得出
3X=1/2+Z/2
2y=Z/2-1/2
上2式带入9X^2 + 4Y^2 -3X +2Y=0中：

(1/2+Z/2)^2+(Z/2-1/2)^2 -1=0
-->Z^2 /2 + 1/2 -1=0
-->Z^2=1
-->Z=+1,-1
也就是说Z的极大值是1

暂时只想出这么些解法，至于你说的线性规划，这个问题应该不属于线性规划的范畴吧；
线性规划要求目标函数是决策变量的线性函数，约束条件也是决策变量的线性函数，本题约束条件不是决策变量的线性函数。

Answer 2

是你的计算错误了。
这道题用线性规划来做不划算，
因为图形为椭圆和直线，
他们的相切点不好找，
应该直接用三角函数来代换。

Answer 3

解：原方程可化为[3x-(1/2)]²+[2y+(1/2)]²=1/2.换元。可设3x-（1/2)=(√2/2)cost,2y+(1/2)=(√2/2)sint.两式相加得z=3x+2y=cos[t+(π/4)].∴z=3x+2y的最大值为1.

Answer 4

(3x-0.5)^2+(2y+0.5)^2=0.5
z^2 = (3x +2y)^2=[(3x-0.5)+(2y+0.5)]^2<=2[(3x-0.5)^2+(2y+0.5)^2]=1
z<=1
当3x-0.5=2y+0.5>0时候等号成立

Answer 5

方程是一个椭圆方程，将Z = 3X +2Y 看做直线y=1/2(z-3x),实数X,Y的取值只能在椭圆边界上，将直线与椭圆的切点坐标代入直线方程，即可求得z的最大值与最小值，最大值1/2,大概算了一下，没有详细笔算验证，方法应该没问题