Question

已知,如图BD,CE分别是△ABC的边AC和AB上的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB 求证：（1）AP=AQ

C:\Documents and Settings\Administrator\桌面

Answer 1

见下图：

因为CE垂直BA，所以＜QCA＋＜CAB＝90’

因为BD垂直CA，所以＜ABP＋＜CAB＝90’

因此 ＜QCA＝＜ABP

这两个相等角的两条边QC＝AB，CA＝BP

根据相等三角形的定理：一个角及角的两边相等的两个三角形为全等三角形．

因此三角形ABP全等于三角形QCA

那么它们的对应边就应相等

即AP＝AQ

Answer 2

1）设BD与CE交于O，则角BOE=角COD,又CE与BD均为高，则角BEO=角CDO=90度，所以角ABO=角OCD
因为AB=QC,BD=CA,则三角形ABP全等于三角形QCA
所以AP=QA
……
2）因为三角形ABP全等于三角形QCA
所以角AQC=角BAP
又角AQC=角CEA+角EAQ=90度+角EAQ
角BAP=角QAP+角EAQ
所以 90度+角EAQ=角QAP+角EAQ
即 角QAP=90度，
所以AP⊥AQ
PS:不好意思啊，题目看错了，题目中的P是你说的M，Q则是N！

Answer 3

证明：∵ BD、CE是△ABC的高 ∴ ∠ABP=∠QCA=90° - ∠DAE ∵ BA=CQ BP=CA ∴ △ABP≌△QCA ∴ AP=AQ ∠P = ∠CAQ ∵ ∠P+∠PAD=∠ADB=90° ∴ ∠CAQ+∠PAD=90° 即：AP⊥AQ

Answer 4

（1）BD，CE分别是三角形ABC的边AC和AB上的高
所以角ABD+角BAC=90度，角ACE+角BAC=90度
于是角ABD=角ACE
又BP=CA，BA=CQ
所以三角形ABP全等于三角形QCA
所以AP=AQ
（2）由（1）得，角BAP=角CQA
而角CQA+QAB=90度
所以角BAP+角QAB=90度
即角QAP=90度，有AP垂直AQ