Question

如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点

如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．（1）求证：∠AEC=90°；（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2，求DH的长．

Answer 1

（1）证明见解析； （2）四边形AOCD为菱形； （3）DH=2 ．

试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得 ，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出∠AEC=90°； （2）四边形AOCD为菱形．由（1）得 ，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）； （3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD= ，求得DH的长． 试题解析：（1）连接OC， ∵EC与⊙O切点C， ∴OC⊥EC， ∴∠OCE=90°， ∵点CD是半圆O的三等分点， ∴ ， ∴∠DAC=∠CAB， ∵OA=OC， ∴∠CAB=∠OCA， ∴∠DAC=∠OCA， ∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行） ∴∠AEC+∠OCE=180°， ∴∠AEC=90°； （2）四边形AOCD为菱形．理由是： ∵ ， ∴∠DCA=∠CAB， ∴CD∥OA， 又∵AE∥OC， ∴四边形AOCD是平行四边形， ∵OA=OC， ∴平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）； （3）连接OD．   ∵四边形AOCD为菱形， ∴OA=AD=DC=2， ∵OA=OD， ∴OA=OD=AD=2， ∴△OAD是等边三角形， ∴∠AOD=60°， ∵DH⊥AB于点F，AB为直径， ∴DH=2DF， 在Rt△OFD中，sin∠AOD= ， ∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°= ， ∴DH=2DF=2 ．