Question

已知点M(1，y)在抛物线C：y 2 =2px(p＞0)上，M点到抛物线C的焦点F的距离为2，直线l：y=- x+b与抛物线C交

已知点M(1，y)在抛物线C：y 2 =2px(p＞0)上，M点到抛物线C的焦点F的距离为2，直线l：y=- x+b与抛物线C交于A，B两点，(1)求抛物线C的方程；(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程；(3)若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

解：(1)抛物线y 2 =2px(p＞0)的准线为 ， 由抛物线定义和已知条件可知 ，解得p=2， 故所求抛物线方程为y 2 =4x。 (2)联立 ，消去x并化简整理得y 2 +8y-8b=0， 依题意应有Δ=64+32b＞0，解得b＞-2， 设A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，则y 1 +y 2 =-8，y 1 y 2 =-8b， 设圆心Q(x 0 ，y 0 )，则应有 ， 因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆的半径为r=|y 0 |=4， 又|AB|= ， 所以 ，解得 ， 所以x 1 +x 2 =2b-2y 1 +2b-2y 2 =4b+16= ， 所以圆心坐标为 ， 故所求圆的方程为 。 (3)因为直线l与y轴负半轴相交，所以b＜0， 又l与抛物线C交于两点，由(2)知b＞-2，所以-2＜b＜0， 直线l： 整理得x+2y-2b=0， 点O到直线l的距离 ， 所以 ， 令g(b)=b 3 +2b 2 ，-2＜b＜0， ， 当b变化时，g′(b)、g(b)的变化情况如下表： 由上表可得g(b)的最大值为 ， 所以当 时，△AOB的面积取得最大值 。