Question

定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函

定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界，已知函数f(x)=1+x+ax 2 ，(Ⅰ)当a=-1时，求函数f(x)在(-∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(-∞，0)上是否为有界函数，并说明理由；(Ⅱ)若函数f(x)在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：(Ⅰ)当a=-1时， ， ∴f(x)在x∈(-∞，0)上单调递增， ∴ ， 故函数f(x)在(-∞，0)上的值域为(-∞，1)， 又∵f(x)＜1， ∴|f(x)|∈[0，+∞)， ∴不存在常数M＞0，使|f(x)|≤M都成立， 故函数f(x)在(-∞，0)上不是有界函数． (Ⅱ)若函数f(x)在[1，4]上是以3为上界的有界函数， 则|f(x)|≤3在[1，4]上恒成立，即-3≤f(x)≤3， ∴-3≤ax 2 +x+1≤3， ∴ ，即 在x∈[1，4]上恒成立， ∴ ， 令 ，则 ， ∴ ， 令g(t)=-4t 2 -t，则 ， 令h(t)=2t 2 -t， 则 ， ∴实数a的取值范围为 。