Question

（2009?江西）如图，已知圆G：（x-2）2+y2=r2是椭圆x216+y2＝1的内接△ABC的内切圆，其中A为椭圆的左顶点

（2009?江西）如图，已知圆G：（x-2）2+y2=r2是椭圆x216+y2＝1的内接△ABC的内切圆，其中A为椭圆的左顶点，（1）求圆G的半径r；（2）过点M（0，1）作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，证明：直线EF与圆G相切．

Answer 1

（1）设B（2+r，y₀），过圆心G作GD⊥AB于D，BC交长轴于H
由

GD

AD

＝

HB

AH

得

r

36?r2

＝

y0

6+r

，
即y0＝

r 6+r

6?r

（1）
而点B（2+r，y₀）在椭圆上，y02＝1?

(2+r)2

16

＝

12?4r?r2

16

＝?

(r?2)(r+6)

16

（2）
由（1）、（2）式得15r²+8r-12=0，
解得r＝

2

3

或r＝?

6

5

（舍去）
（2）设过点M（0，1）与圆(x?2)2+y2＝

4

9

相切的直线方程为：y-1=kx（3）
则

2

3

＝

|2k+1|

1+k2

，即32k²+36k+5=0（4）
解得k1＝

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