Question

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知cosA?2cosCcosB=2c?ab．（1）求sinCsinA的值；（2）若c

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知cosA?2cosCcosB=2c?ab．（1）求sinCsinA的值；（2）若cosB=14，△ABC的周长为10，求b的长．

Answer 1

（1）已知等式利用正弦定理化简得：

cosA?2cosC

cosB

=

2c?a

b

=

2sinC?sinA

sinB

，
整理得：sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB，即sinAcosB+cosAsinB=2（sinBcosC+cosBsinC），
整理得：sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA，
则

sinC

sinA

=2；
（2）将sinC=2sinA，利用正弦定理化简得：c=2a，
由余弦定理得：cosB=

a2+c2?b2

2ac

=

1

4

，
将c=2a代入得：

a2+4a2?b2

4a2

=

1

4

，整理得：b=2a，
∵a+b+c=10，
∴a+2a+2a=10，即a=2，
则b=4．