Question

如图1，在正方形ABCD中，∠ECF的两边分别交边AB、AD于点E、F，且∠ECF=45°．①求证：BE+DF=EF；②运用①

如图1，在正方形ABCD中，∠ECF的两边分别交边AB、AD于点E、F，且∠ECF=45°．①求证：BE+DF=EF；②运用①的结论解决下面问题：如图2，在直角梯形ABCF中，AF∥BC（BC＞AF），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠FCE=45°，BE=1.5，EF=2.5，求梯形ABCF的面积．

Answer 1

①证明：如图，把△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△CDG，
由旋转的性质可得BE=DG，CE=CG，∠BCE=∠DCG，
∵∠ECF=45°，
∴∠FCG=∠FCD+∠DCG=∠FCD+∠BCE=∠BCD-∠ECF=90°-45°=45°，
∴∠ECF=∠FCG，
在△ECF和△GCF中，

CE＝CG ∠ECF＝∠FCG CF＝CF

，
∴△ECF≌△GCF（SAS），
∴EF=GF，
∵GF=DG+DF=BE+DF，
∴BE+DF=EF；

②解：设正方形ABCD的边长为x，
∵BE=1.5，
∴AE=x-1.5，
∵EF=2.5，
∴AF=x-（EF-BE）=x-（2.5-1.5）=x-1，
在Rt△AEF中，AE²+AF²=EF²，
即（x-1.5）²+（x-1）²=2.5²，
整理得，2x²-5x-3=0，
解得x₁=3，x₂=-

1

2

（舍去），
所以，AF=3-1=2，
梯形ABCF的面积=

1

2

×（2+3）×3=

15

2

；