如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是DD1的中点，则下列结论正确的是______（填序号）①线段A1M与B1C所在
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是DD1的中点，则下列结论正确的是______（填序号）①线段A1M与B1C所在直线为异面直线；②对角线BD1⊥平面AB1C...
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是DD1的中点，则下列结论正确的是______（填序号）①线段A1M与B1C所在直线为异面直线；②对角线BD1⊥平面AB1C；③平面AMC⊥平面AB1C；④直线A1M∥平面AB1C．
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解答：
解：∵线段A1M所在平面AD1A1与B1C所在平面BCC1B1互相平行，
且直线A1M与B1C不平行，
∴线段A1M与B1C所在直线为异面直线，
故①正确；
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），B1（2，2，2），M（0，0，1），D1（0，0，2），
∴
＝(0，2，2)，
＝(?2，2，0)，
＝(?2，?2，2)，
＝(?2，0，1)，
∴
?
=0-4+4=0，
?
=4-4+0=0，
∴
⊥
，
⊥
，
∴BD1⊥AB1，BD1⊥AC，
∴对角线BD1⊥平面AB1C，
故②正确；
设平面AMC的法向量为
=（x1，y1，z1），则
?
＝0，
?
＝0，
∴
，∴
=（1，1，2），
设平面AB1C的法向量为
=（x2，y2，z2），则
解：∵线段A1M所在平面AD1A1与B1C所在平面BCC1B1互相平行，且直线A1M与B1C不平行，
∴线段A1M与B1C所在直线为异面直线，
故①正确；
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），B1（2，2，2），M（0，0，1），D1（0，0，2），
∴
| AB1 |
| AC |
| BD1 |
| AM |
∴
| BD1 |
| AB1 |
| BD1 |
| AC |
∴
| BD1 |
| AB1 |
| BD1 |
| AC |
∴BD1⊥AB1，BD1⊥AC，
∴对角线BD1⊥平面AB1C，
故②正确；
设平面AMC的法向量为
| m |
| m |
| AM |
| m |
| AC |
∴
|
| m |
设平面AB1C的法向量为
| n |
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