Question

如图所示，已知两点A（-1，0），B（4，0），以AB为直径的半圆P交y轴于点C．（1）求经过A、B、C三点的抛物

如图所示，已知两点A（-1，0），B（4，0），以AB为直径的半圆P交y轴于点C．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）设弦AC的垂直平分线交OC于D，连接AD并延长交半圆P于点E，AC与CE相等吗？请证明你的结论；（3）设点M为x轴负半轴上一点，OM=12AE，是否存在过点M的直线，使该直线与（1）中所得的抛物线的两个交点到y轴的距离相等？若存在，求出这条直线对应函数的解析式；若不存在．请说明理由．

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Answer 1

解答：解：（1）连接BC
∵AB为直径，
∴∠ACB=90度．
∴OC²=OA?OB
∵A（-1，0），B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
∴OC²=4
∴OC=2
∴C的坐标是（0，2）
设经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4）
把x=0时，y=2代入上式得
a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

x²+

3

2

x+2．

（2）

AC

=

CE

证明：∵∠ACB=90度．
∴∠CAB+∠ABC=90度．
∵∠CAB+∠ACO=90度．
∴∠ABC=∠ACO．
∵PD是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠EAC=∠ACO．
∴∠EAC=∠ABC，
∴

AC

=

CE

．

（3）不存在．
连接PC交AE于点F
∵

AC

=

CE

∴PC⊥AE，AF=EF
∵∠EAC=∠ACO，∠AFC=∠AOC=90°，
AC=CA，
∴△ACO≌△CAF
∴AF=CO=2
∴AE=4
∵OM=

1

2

AE，
∴OM=2．
∴M（-2，0）
假设存在，设经过M（-2，0）和y=-

1

2

x²+

3

2

x+2相交的直线是y=kx+b；
因为交点到y轴的距离相等，所以应该是横坐标互为相反数，
设两横坐标分别是a和-a，则两个交点分别是（a，-

1

2

a²+

3

2

a+2）与（-a，-

1

2

a²-

3

2

a+2），
把以上三点代入y=kx+b，得

ak+b＝? 1 2 a2+ 3 2 a+2 ?2k+b＝0 ?ak+b＝? 1 2 a2? 3 2 a+2

，
解得a无解，所以不存在这样的直线．