Question

已知f（x）=x2-px+q，其中p＞0，q＞0．（1）当p＞q时，证明f(q)p＜f(p)q；（2）若f（x）=0在区间，（0，1

已知f（x）=x2-px+q，其中p＞0，q＞0．（1）当p＞q时，证明f(q)p＜f(p)q；（2）若f（x）=0在区间，（0，1]，（1，2]内各有一个根，求p+q的取值范围．

Answer 1

解答：证明：（1）

f(q)

p

＝

q2?pq+q

p

＝

q2+q

p

?q，

f(p)

q

＝

p2?p2+q

q

＝1，
∴

f(q)

p

?

f(p)

q

＝

q2+q

p

?q?1＝

(q+1)(q?p)

p

，
∵p＞q＞0，
∴

(q+1)(q?p)

p

＜0，
即

f(q)

p

?

f(p)

q

＜0，
∴

f(q)

p

＜

f(p)

q

；        （4分）
解：（2）∵抛物线的图象开口向上，且f（x）=0在区间（0，1]，（1，2]内各有一个根，
∴

f(0)＞0 f(1)≤0 f(2)≥0

?

q＞0 1?p+q≤0 4?2p+q≥0

?

p?q≥1 2p?q≤4.

∴点（p，q）（p＞0，q＞0）组成的可行域如图所示，

设z=p+q，由线性规划知识可知，1＜z=p+q≤5，即p+q∈（1，5]．