Question

请问∫dx／√(1+4x²) 怎么算？要详细过程，谢谢！

还有一道题，∫x²cos²（x/2）dx，都要详细过程，谢谢！

Answer 1

1、
令2x = tanθ，则2dx = sec²θ dθ，而√(1+4x²)=secθ
那么
∫ 1/√(1+4x²) dx
= ∫ 1/secθ * (1/2 * sec²θ dθ)
= 1/2 ∫ secθ dθ
= 1/2 ln|secθ + tanθ| +C
= 1/2 ln|2x +√(1+4x²)] +C，C为常数
即∫ 1/√(1+4x²) dx= 1/2 ln|2x +√(1+4x²)] +C，C为常数

2、
注意2cos²(x/2)-1=cosx
所以
∫x²cos²(x/2)dx

=∫x²(cosx+1)/2 dx
=∫0.5x² *cosx + x²/2 dx
=0.5∫x² d(sinx) + x^3 /6
=0.5x² *sinx -∫ sinx d(0.5x²) + x^3 /6
=0.5x² *sinx -∫ sinx *x dx + x^3 /6
=0.5x² *sinx +∫ x dcosx + x^3 /6
=0.5x² *sinx +x *cosx -∫cosx dx + x^3 /6
=0.5x² *sinx +x *cosx -sinx + x^3 /6 +C，C为常数