Question

f(x)在正负无穷区间内单调有界，Xn为数列。若Xn单调，则f(x)收敛？

若假设f(x)＝1/x，Xn＝1/n，此结论不成立啊

Answer 1

你对问题的描述有问题，应该是f(xn)收敛。这个是肯定的。
你举的例子是不正确的。
注意到，f(x)=1/x是单调的，但不是有界的。

下面证明f(xn)收敛。
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假若xn单调，且有界，那么它一定存在一个极限，设为A
那么f(xn)趋向于f(A)，因而收敛 。
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假若xn单调，但无界，那么它趋向∞，
注意到，f(x)单调有界，那么必有极限，

也就是说，当x充分大时，f(x)有极限，设为B
稍微严格地语言描述为：
存在一个正数M，使得当|x|>M时，lim(x→∞)[f(x)-B]=0
也就是说，
当x→∞时，lim(x→∞)[f(x)-B]=0
那么f(x)自然是收敛的。
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证毕。

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