Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB， （1）求

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB， （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）求∠P的度数； （3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，AB=4，求线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积。

Answer 1

解：（1）∵OA=OC， ∴∠A=∠ACO， ∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB， ∴∠A=∠ACO=∠PCB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACO+∠OCB=90°， ∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP， ∵OC是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线。 （2）∵PC=AC， ∴∠A=∠P， ∴∠A=∠ACO=∠P， ∵∠A+∠ACO+∠PCO+∠P=180°， ∴3∠P=90°， ∴∠P=30°。
（3）∵点M是半圆O的中点， ∴∠BCM=45°， 由（2）知∠BMC=∠A=∠P=30°， ∴BC= AB=2， 作BD⊥CM于D， ∴CD=BD= ， ∴DM= ， ∴CM= ，  ∴S △BCM = ， ∵∠BOC=2∠A=60°， ∴弓形BmC的面积= ， ∴线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积为 。