Question

设a是实数，f(x)＝a?21+2x(x∈R)（1）已知函数f(x)＝a?21+2x(x∈R)是奇函数，求实数a的值．（2）试证明：

设a是实数，f(x)＝a?21+2x(x∈R)（1）已知函数f(x)＝a?21+2x(x∈R)是奇函数，求实数a的值．（2）试证明：对于任意实数a，f（x）在R上为增函数．

Answer 1

（1）由题意可得x∈R，函数为奇函数必有f（0）=0
代入数据可得a?

2

1+20

=0，解得a=1
（2）证明：设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
作差可得f(x1)?f(x2)＝(a?

2

2x1+1

)?(a?

2

2x2+1

)
=

2

2x2+1

?

2

2x1+1

＝

2(2x1?2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
由于指数函数y=2^x在R上是增函数，且x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，
即2x1?2x2＜0，
又由2^x＞0，得2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴对于任意a，f（x）在R上为增函数．