Question

如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，平面ABD和平面A1B1C的交线为MN．（Ⅰ）

如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，平面ABD和平面A1B1C的交线为MN．（Ⅰ）试证明AB∥MN；（Ⅱ）若直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45°，试求二面角A-BD-C的大小．

Answer 1

证明：（Ⅰ）由题意AB∥A₁B₁，
又A₁B₁?平面CA₁B₁，AB?平面CCA₁B₁，∴AB∥平面CA₁B₁
又AB?平面DAB，平面DAB∩平面CA₁B₁=MN，∴AB∥MN

（Ⅱ）取BC中点E，连AE，过E作EF⊥BD于F，连AF．
∵△ABC是正三角形，∴AE⊥BC．
又底面ABC⊥侧面BB₁C₁C，且交线为BC
∴AE⊥侧面BB₁C₁C
又EF⊥BD，AF⊥BD
∴∠AFE为二面角A-BD-C的平面角
连ED，则直线AD与侧面BB₁C₁C所成的角为∠ADE=45°．
设正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为x．则在Rt△AED中，
tan45°＝

AE

ED

＝

3

1+ x2 4

解得x＝2

2

．
此正三棱柱的侧棱长为2

2

在Rt△BEF中，EF=BEsin∠EBF，又BE=1，sin∠EBF=

CD

BD

＝

3

3

，
EF=

3

3

．又AE＝

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