Question

（2012?茂名一模）如图1，在正三角形ABC中，已知AB=5，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，设AE＝2x，CF＝

（2012?茂名一模）如图1，在正三角形ABC中，已知AB=5，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，设AE＝2x，CF＝CP＝x，0＜x＜52，将△ABC沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B的大小为π2，连接A1B、A1P（如图2）．（1）求证：PF∥平面A1EB；（2）若EF⊥平面A1EB，求x的值；（3）当EF⊥平面A1EB时，求平面A1BP与平面A1EF所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

（1）证明：∵CF=CP=x，CA=CB，∴PF∥BE
∵PF?平面A₁BE，BE?平面A₁BE
∴PF∥平面A₁EB；
（2）解：若EF⊥平面A₁EB，则EF⊥AE，∠AEF=90°
∵∠EAF=60°，∴

AE

AF

＝cos60°
∴

2x

5?x

＝

1

2

，∴x=1
（3）解：∵二面角A₁-EF-B的大小为

π

2

，且EF⊥平面A₁EB，
∴EF⊥BE，A₁E⊥EF，平面A₁EF∩平面BEF=EF
∴A₁E⊥平面BEF
∵BE?平面BEF
∴A₁E⊥BE
∴EF，BE，A₁E两两互相垂直
以E为原点，建立空间直角坐标系，则由已知得，BE=1，A₁E=2，PF=FC=PC=1，EF=2

3

∴E（0，0，0），A₁（0，0，2），B（3，0，0），P（1，2

3

，0），F（0，2

3

，0）
∴

A1B

＝(1，0，?2)，

BP

＝(?2，2

3

，0)
∴

BE

＝(?3，0，0)是