Question

设{an}是公比大于1的等比数列，sn为数列{an}的前n项和．已知s3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）

设{an}是公比大于1的等比数列，sn为数列{an}的前n项和．已知s3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn＝1n?72log2an，求数列{bn}的最大项．

Answer 1

（1）由题意得

a1+a2+a3＝7 (a1+3)+(a3+4)＝6a2

，解得a₂=2，
设数列{a_n}的公比为q，由a₂=2，可得a₁=

2

q

，a₃=2q，
又S₃=7，可知2q²-5q+2=0，解得q₁=2，q₂=

1

2

，
由题意得q＞1，∴q=2．∴a₁=1，故数列{a_n}的通项为a_n=2^n-1
（2）bn＝

1

n? 7 2

log2an＝ 

n?1

n? 7 2

＝1+

5 2

n? 7 2

∵函数y＝

5 2

n? 7 2

（n∈N₊）在[1，3]上为减函数，在[4，+∞）上为单调减函数，且n=1时，b₁=0，n=4时，b₄=6
∴n=4时，函数有最大值，此时最大值为b₄=6
∴数列{b_n}的最大项为b₄=6