Question

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe1-x（a∈R，e为自然对数的底数），若对任意给定的x0∈（0

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe1-x（a∈R，e为自然对数的底数），若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，则a的取值范围是（　　）A．（-∞，2e?5e?1]B．（-∞，2e?2e]C．（2e?2e，2）D．[2e?5e?1，2e?2e）

Answer 1

∵g'（x）=（1-x）e^1-x，
∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减，
又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e^2-e＞0，
∴g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．
f′(x)＝2?a?

2

x

＝

(2?a)(x? 2 2?a )

x

，x∈(0，e]，
当x＝

2

2?a

时，f′（x）=0，f（x）在x＝

2

2?a

处取得最小值f(

2

2?a

)＝a?2ln

2

2?a

，
由题意知，f（x）在（0，e]上不单调，所以0＜

2

2?a

＜e，解得a＜

2e?2

e

，
所以对任意给定的x₀∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，
当且仅当a满足条件f(

2

2?a

)≤0且f（e）≥1
因为f（1）=0，所以f(

2

2?a

)≤0恒成立，由f（e）≥1解得a≤

2e?5

e?1

综上所述，a的取值范围是(?∞，

2e?5

e?1

]．
故选：A．