Question

如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=4，AD=CD=5，cot∠C＝34．点P在边BC上运动（点P不与点B、点C

如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=4，AD=CD=5，cot∠C＝34．点P在边BC上运动（点P不与点B、点C重合），一束光线从点A出发，沿AP的方向射出，经BC反射后，反射光线PE交射线CD于点E．（1）当PE=CE时，求BP的长度；（2）当点E落在线段CD上时，设BP=x，DE=y，试求y与x之间的函数关系，并写出其定义域；（3）连接PD，若以点A、P、D为顶点的三角形与△PCE相似，试求BP的长度．

Answer 1

解答：解：（1）根据已知，得BC=8，∠APB=∠EPC（1分）
∵PE=CE∴∠EPC=∠C
∴∠APB=∠C
（方法一）∵cot∠C=

3

4

∴

BP

AB

＝

3

4

（1分）
∵AB=4∴BP=3（1分）
即BP=3时，PE=CE
（方法二）∴AP∥DC
∴PC=AD=5（1分）
∴BP=3（1分）
即BP=3时，PE=CE

（2）延长PE与AD的延长线交于点F，
∵BP=x，
∵光线从点A出发，沿AP的方向射出，经BC反射，
∴PC=8-x，AF=2x（1分）
∵DE=y，DC=AD=5，
∴EC=5-y，DF=2x-5
∵AF∥BC
∴

DF

PC

＝

DE

EC

（1分）
即

2x?5

8?x

＝

y

5?y

（1分）
∴y＝

5(2x?5)

x+3

（1分）
∵点E在线段CD上
∴函数定义域为

5

2

≤x＜8（1分）

（3）∵AD∥BC，
∴∠DAP=∠APB，
∵∠APB=∠EPC，
∴∠DAP=∠EPC（1分）
若△APD与△PCE相似，则有如下两种情况：
（ⅰ）∠ADP=∠C时，
推出BP=2时，△APD∽△PEC；（2分）
（ⅱ）∠APD=∠C时
（法一）又∵∠ADP=∠DPC∴△APD∽△DCP
∴PD²=AD?PC
∵PD²=4²+（5-x）²（1分）
∴16+（5-x）²=5（8-x）（1分）
解得x1，2＝

5± 21

2

，经检验，均符合题意
故x1，2＝

5± 21

2

时，△APD∽△PCE；（1分）
∴当BP为2，

5± 21

2

时，△APD与△PCE相似．
（法二）过点D作DH⊥AP于点H
∵∠DAP=∠APB，
∴

AB

AP

＝

DH

AD

，

BP

AP

＝

AH

AD

∵AP＝

42+x2

∴DH＝

20

16+x2

，AH＝

5x

16+x2

∴HP＝

16+x2

?

5x

16+x2

（1分）
∵cot∠C=

a

∴

b

4(

16+x2

?

5x

16+x2

)＝3?

20

16+x2

（1分）
解得x=

5+ 21

2

，或x=

5? 21

2

，
故x=

5± 21

2

时，△APD∽△PCE；（1分）
∴当BP为2，

5± 21

2

时，△APD与△PCE相似．