Question

设x₁，x₂为方程x²-2ax+a+6=0（a∈R）的两个实数根，求 1）x₁+x₂的取值...

设x₁，x₂为方程x²-2ax+a+6=0（a∈R）的两个实数根，求 1）x₁+x₂的取值范围； 2）（x₁-1）²+（x₂-1）²的最小值。

Answer 1

解：（1）依据题意：判别式△≥0
∴△=（-2a）² -4x1x（a+6）≥0
即：a²-a-6≥0
（a-3）（a+2）≥0
∴a≤-2 或 a≥3
∴2a≤-4 或 2a≥6
∵x₁+x₂=-（-2a）=2a
∴x₁+x₂≤ -4 或 x₁+x₂ ≥6
（2）（x₁-1）²+（x₂-1）²
=x₁² -2x₁+1 +x₂² -2x₂+1
=（x₁+x₂）² -2x₁·x₂-2（x₁+x₂）+2
∵x₁+x₂=2a ，x₁·x₂=a+6
∴（x₁-1）²+（x₂-1）²
=（2a）² -2（a+6）-4a+2
=4a²-6a-10
=4（a - 3/4）² -49/4
∴关于a的抛物线开口向上，对称轴为：a=3/4
∵a≤-2 或 a≥3
∴a=3/4不在这个范围内，根据抛物线的图像的对称性
3/4 -（-2）=11/4， 3-3/4=9/4
∵9/4 ＜11/4
∴当a=3时，所求式子的值是最小值
所以当a=3时：
（x₁-1）²+（x₂-1）²
= 4（3-3/4）²-49/4
=8
即：（x₁-1）²+（x₂-1）²的最小值为8.

【很高兴为你解决以上问题，希望对你的学习有所帮助！】≤、≥ ∠