Question

过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P： x 2 2 + y 2 =1 交于A、C与B、D，则四边形

过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P： x 2 2 + y 2 =1 交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为______．

Answer 1

由题意可得四边形ABCD的对角线互相垂直，且四个顶点在椭圆 x 2 2 + y 2 =1 上． 可设A（ 2 cosα，sinα ），B（ 2 cos[α+90°]，sin[α+90°]），0°≤α≤180°． 则四边形ABCD面积等于4×S △AOB =4× 1 2 |OA|?|OB|=2 2 cos 2 α+ sin 2 α × 2 cos 2 (α+90°)+ sin 2 (α+90°) = 2 (1+ cos 2 α)(1+ sin 2 α) = 2 2+ 1 4 sin 2  2α ≥2 2 当且仅当sin2α=0，即 α=0°或180°时，等号成立． 故四边形ABCD面积的最小值等于 2 2 ． 故答案为： 2 2