Question

已知函数f（x）=sin（2x+ π 6 ）+sin（2x- π 6 ）+2cos 2 x（x∈R）．（1）求函

已知函数f（x）=sin（2x+ π 6 ）+sin（2x- π 6 ）+2cos 2 x（x∈R）．（1）求函数f（x）的最大值及此时自变量x的取值集合；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）求使f（x）≥2的x的取值范围．

Answer 1

f（x）=sin2xcos π 6 +cos2xsin π 6 +sin2xcos π 6 -cos2xsin π 6 +1+cos2x=2sin2xcos π 6 +cos2x+1= 3 sin2x+cos2x+1=2sin（2x+ π 6 ）+1 （1）f（x）取得最大值3，此时2x+ π 6 = π 2 +2kπ，即x= π 6 +kπ，k∈Z 故x的取值集合为{x|x= π 6 +kπ，k∈Z} （2）由2x+ π 6 ∈[- π 2 +2kπ， π 2 +2kπ]，（k∈Z）得，x∈[- π 3 +kπ， π 6 +kπ]，（k∈Z） 故函数f（x）的单调递增区间为[- π 3 +kπ， π 6 +kπ]，（k∈Z） （3）f（x）≥2?2sin（2x+ π 6 ）+1≥2?sin（2x+ π 6 ）≥ 1 2 ? π 6 +2kπ≤2x+ π 6 ≤ 5π 6 +2kπ?kπ≤x≤ π 3 +kπ，（k∈Z） 故f（x）≥2的x的取值范围是[kπ， π 3 +kπ]，（k∈Z）