Question

已知函数f（x）=lnx-ax-3（a≠0）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意的a∈[1，2]，函数g（x

已知函数f（x）=lnx-ax-3（a≠0）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意的a∈[1，2]，函数g（x）=x3+[b2-f′（x）]x2在区间（a，3）上有最值，求实数b的取值范围．

Answer 1

（I）由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=

1?ax

x

．
当a＜0时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，
当a＞0时，由f′（x）＞0，得0＜x＜

1

a

，此时函数单调递增；
由f′（x）＜0，得（

1

a

，+∞），
综上，当a＜0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，函数f（x）在（0，

1

a

）上单调递增，在（

1

a

，+∞）上单调递减．
（II）由（I）得，f′（x）=

1?ax

x

．
∴g（x）=x³+[

b

2

-f′（x）]x²=x³+（

b

2

+a）x²-x，
∴g′（x）=3x²+（b+2a）x-，
∵g（x）在区间（a，3）上有最值，
∴g′（x）在区间（a，3）上有零点．
而g′（0）=-1＜0，∴

g′(a)＜0 g′(3)＞0

对任意的a∈[1，2]恒成立，
即3a²+（b+2a）a-1＜0 ①，26+3（b+2a）＞0，②对任意的a∈[1，2]，恒成立．
由①得，b＜

1

a

-5a，∵

1

a

-5a的最小值为

1

2

?10＝?

19

2

，∴b＜?

19

2

由②得，b＞-2a-

26

3

，
∵-2a-

26

3

的最大值为-2-

26

3

=?

32

3

，∴b＞?

32

3

，
综上?

32

3

＜b＜?

19

2

．