已知:抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(-1,0),且满足4a+2b+c>0,以下结论:①a+b>0;②a+c>0;③-
已知:抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(-1,0),且满足4a+2b+c>0,以下结论:①a+b>0;②a+c>0;③-a+b+c>0;④b2-2ac>5a2,...
已知:抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(-1,0),且满足4a+2b+c>0,以下结论:①a+b>0;②a+c>0;③-a+b+c>0;④b2-2ac>5a2,其中正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个
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(1)因为抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(-1,0),
所以原式可化为a-b+c=0----①,
又因为4a+2b+c>0----②,
所以②-①得:3a+3b>0,
即a+b>0;
(2)②+①×2得,6a+3c>0,
即2a+c>0,
∴a+c>-a,
∵a<0,
∴-a>0,
故a+c>0;
(3)因为4a+2b+c>0,可以看作y=ax2+bx+c(a<0)当x=2时的值大于0,草图为:
可见c>0,
∵a-b+c=0,
∴-a+b-c=0,
两边同时加2c得-a+b-c+2c=2c,
整理得-a+b+c=2c>0,
即-a+b+c>0;
(4)∵过(-1,0),代入得a-b+c=0,
∴b2-2ac-5a2=(a+c)2-2ac-5a2=c2-4a2=(c+2a)(c-2a)
又∵4a+2b+c>0
4a+2(a+c)+c>0
即2a+c>0①
∵a<0,
∴c>0
则c-2a>0②
由①②知(c+2a)(c-2a)>0,
所以b2-2ac-5a2>0,
即b2-2ac>5a2
综上可知正确的个数有4个.
故选D.
所以原式可化为a-b+c=0----①,
又因为4a+2b+c>0----②,
所以②-①得:3a+3b>0,
即a+b>0;
(2)②+①×2得,6a+3c>0,
即2a+c>0,
∴a+c>-a,
∵a<0,
∴-a>0,
故a+c>0;
(3)因为4a+2b+c>0,可以看作y=ax2+bx+c(a<0)当x=2时的值大于0,草图为:
可见c>0,
∵a-b+c=0,
∴-a+b-c=0,
两边同时加2c得-a+b-c+2c=2c,
整理得-a+b+c=2c>0,
即-a+b+c>0;
(4)∵过(-1,0),代入得a-b+c=0,
∴b2-2ac-5a2=(a+c)2-2ac-5a2=c2-4a2=(c+2a)(c-2a)
又∵4a+2b+c>0
4a+2(a+c)+c>0
即2a+c>0①
∵a<0,
∴c>0
则c-2a>0②
由①②知(c+2a)(c-2a)>0,
所以b2-2ac-5a2>0,
即b2-2ac>5a2
综上可知正确的个数有4个.
故选D.
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