Question

已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，2an＝an?1+an+1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足b1=2，anbn+1=2an+1bn．（Ⅰ

已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，2an＝an?1+an+1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足b1=2，anbn+1=2an+1bn．（Ⅰ）求数列{an}的通项an； （Ⅱ）求证：数列{bnn}为等比数列；并求数列{bn}的通项公式．

Answer 1

（I）解：∵2an＝an?1+an+1(n≥2，n∈N*)，
∴数列{a_n}是等差数列
又∵a₁=1，a₂=2，
∴d=1，a_n=1+（n-1）×1=n
（II）证明：a_n=n
∵a_nb_n+1=2a_n+1b_n．
∴nb_n+1=2（n+1）b_n
∴

bn+1

n+1

＝ 2?

bn

n

，

b1

1

＝2
∴{

bn

n

}是以2为首项以2为公比的等比数列
由等比数列的通项公式可得，

bn

n

＝2?2n?1=2ⁿ
∴bn＝n?2n