Question

已知函数f（x）=lnx+ax2-4在x=12处取得极值，若m，n∈[14，1]，则f（m）+f′（n）的最大值是______

已知函数f（x）=lnx+ax2-4在x=12处取得极值，若m，n∈[14，1]，则f（m）+f′（n）的最大值是______．

Answer 1

f′(x)＝

1

x

+2ax，
∵函数f（x）=lnx+ax²-4在x=

1

2

处取得极值，
∴f′(

1

2

)＝2+a＝0，
∴a=-2．
则f（x）=lnx-2x²-4，
f′（x）=

1

x

?4x＝

(1+2x)(1?2x)

x

，
则f（x）在[

1

4

，

1

2

]上单调递增，在[

1

2

，1]上单调递减；
则f(m)max＝f(

1

2

)＝ln

1

2

?

1

2

?4，
又∵f′（x）在[

1

4

，1]上单调递减，
∴f′(n)max＝f′(

1

4

)＝4?1＝3，
∴f（m）+f′（n） 的最大值为：ln

1

2

?

1

2

?4+3＝?ln2?

3

2

．
故答案为?ln2?

3

2

．