Question

已知由正数组成的数列{an}，它的前n项和为Sn．（Ⅰ）若数列{an}满足：an+1=qan（q≠0），试判断数列{Sn}

已知由正数组成的数列{an}，它的前n项和为Sn．（Ⅰ）若数列{an}满足：an+1=qan（q≠0），试判断数列{Sn}是等比数列还是等差数列？并说明理由．（Ⅱ）若数列{an}满足：a1＝12，且Sn与1an的等比中项为n（n∈N*），求limn→∞Sn．

Answer 1

（I）由

an+1

an

＝q≠0 得{a_n}为等比数列，假设S_n是等比数列，则S₂²=S₁S₃，整理得q=0与q≠0矛盾，
所以S_n不是等比数列；
假设S_n是等差数列，则2S₂=S₁+S₃整理得q=1或q=0（舍）所以q=1时，S_n是等差数列，q≠1，S_n不是等差数列；
（II）由条件得n2＝Sn?

1

an

，即S_n=n²a_n3，S_n-1=（n-1）²a_n-1，
相减得a_n（n²-1）=（n-1）²a_n-1（n≥2），

an

an?1

＝

n?1

n+1

得an＝

1

n(n+1)

，
所以S_n=n²a_n=

n2

n2+n

得

lim

n→∞

Sn=1．