Question

已知函数f（x）=ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R，g（x）=x4+f（x）．（1）当a=-103时，讨论函数f（x）的

已知函数f（x）=ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R，g（x）=x4+f（x）．（1）当a=-103时，讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数g（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；（3）若对于任意的a∈[-2，2]，不等式g（x）≤1在[-1，1]上恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

（1）f'（x）=3ax²+4x=x（3ax+4）．                                    …（1分）
当a=-

10

3

时，f'（x）=x（-10x+4）．令（n∈N），解得x₁=0，x2＝

2

5

．      …（2分）
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	(0， 2 5 )	2 5	( 2 5 ，+∞)
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

所以f（x）在(0，

2

5

)内是增函数，在（-∞，0），(

2

5

，+∞)内是减函数．            …（5分）
（2）g'（x）=4x³+f'（x）=x（4x²+3ax+4），显然x=0不是方程4x²+3ax+4=0的根．…（7分）
为使g（x）仅在x=0处有极值，必须4x²+3ax+4≥0成立，…（8分）
即有△=9a²-64≤0．解不等式，得?

8

3

≤a≤

8

3

．这时，g（0）=b是唯一极值．    …（9分）
因此满足条件的a的取值范围是[?

8

3

，

8

3

]．                                …（10分）
（3）g'（x）=x（4x²+3ax+4）由条件a∈[-2，2]，可知△=9a²-64＜0，…（11分）
从而4x²+3ax+4＞0恒成立．在（-

8

3

，

8

3

）上，当x＜0时，g'（x）＜0；当x＞0时，g'（x）＞0．
因此函数g（x）在[-1，1]上的最大值是g（1）与g（-1）两者中的较大者．         …（13分）
为使对任意的a∈[-2，2]，不等式g（x）≤1在[-1，1]上恒成立，
当且仅当

g(1)≤1 g(?1)≤1

，即

b≤?2?a b≤?2+a

，在a∈[-2，2]上恒成立．                       …（15分）
所以b≤-4，因此满足条件的b的取值范围是（-∞，-4]…（16分）