Question

椭圆C：x2/a2+y2/b2=1的离心率为√3/2，且过点（2，0）

Answer 1

(1)e=√2/2→√(1-b²/a²)=√2/2
∴a²=2b²
①
椭圆过点(1，√2/2)，则
1²/a²+(√2/2)²/b²=1
②
解①、②得，a²=2，b²=1.
故椭圆为:
x²/2+y²=1.
(2)c²=a²-b²=2-1=1，
故f1为(1，0)，
即焦点弦为:
y-0=tan30°(x-1)
→√3x-3y-√3=0.
依点线距公式得三角形高
h=|√3·0-0-√3|/√12=1/2;
依焦点弦长公式得
丨ab|=2ab²/(b²+c²sin²θ)
=2√2/(1+sin²30°)
=8√2/5.
故三角形面积
s=1/2×|ab|×h
=1/2×1/2×8√2/5
=2√2/5。

Answer 2

解：（1）椭圆C过点(2,0)，则a=2，又e=c/a=√3/2，故c=√3，b=√(a²-c²)＝1.故C方程为x²/4+y²＝1.
　　（2）①直角顶点是A或B时，点A或B应在直线y=-x上，联立y=-x及y=x+m得x=-m/2,y=m/2.又A，B点在椭圆上，代入椭圆方程得5m²/16＝1，解得m＝±4√5/5.验证知成立.
　　　　
②直角顶点是O时，设A(x1,x2),B(x2,y2)，则向量OA·OB＝x1x2+y1y2=0.
　　　　　
联立直线方程与椭圆方程得：5x²+8mx+4m²-4＝0；5y²-2my+m²-4＝0，由韦达定理得x1x2=4(m²-1)/5，y1y2=(m²-4)/5，故x1x2+y1y2=m²-8/5＝0，m＝±2哗肌糕可蕹玖革雪宫磨√10/5.验证知成立.
　　　　
综上，m=±4√5/5或±2√10/5.