Question

设f(X)=x^2+mx+n,集合A={x|x=f(x)},集合B={x|x=f[f(x)]} （1）求证：A属于B （2）如果A=｛1，-3｝求集合B

Answer 1

证：
(1)对任意x∈A，有f(x)=x
∴f[f(x)]=f(x)=x
即x∈B
由子集定义知A属于B
(2)将x1=1，x2=-3
代入方程x²+mx+n=x
解得m=3，n=-3
集合B中元素满足的方程为x=(x²+3x-3)²+3(x²+3x-3)-3
∵A=｛1，-3｝由(1)知1，-3∈B
即1，-3是上述4次方程的两个根
故方程可分解因式为(x-1)(x+3)(x²+4x+1)=0
得出x3=-2+√3，x4=-2-√3
∴B=｛1，-3，-2+√3，-2-√3｝