Question

设a是实数，函数f（x）=ax2+（a+1）x-2lnx．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a=2时，过原

设a是实数，函数f（x）=ax2+（a+1）x-2lnx．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a=2时，过原点O作曲线y=f（x）的切线，求切点的横坐标；（3）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=h（x），当x≠x0时，若g(x)?h(x)x?x0＜0在D内恒成立，则称点P为函数y=g（x）的“巧点”．当a=-14时，试问函数y=f（x）是否存在“巧点”？若存在，请求出“巧点”的横坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）当a=1时，f′（x）=

2(x2+x?1)

x

（x＞0），…（1分）
由f′（x）＞0得：x＞

?1+ 5

2

；由f′（x）＜0得：0＜x＜

?1+ 5

2

．                 …（2分）
所以，f（x）的单调增区间为（

?1+ 5

2

，+∞），单调减区间为（0，

?1+ 5

2

）．        …（3分）
（2）当a=2时，设切点为M （m，n）．
f′（x）=4x+3-

2

x

（ x＞0），所以，切线的斜率k=4m+3-

2

m

．
又直线OM的斜率为

2m2+3m?2lnm

m

，…（5分）
所以，4m+3-

2

m

=

2m2+3m?2lnm

m

，即m²+lnm-1=0，
又函数y=m²+lnm-1在（0，+∞）上递增，且m=1是一根，所以是唯一根，
所以，切点横坐标为1．                                                  …（7分）
（3）a=-

1

4

时，由函数y=f（x）在其图象上一点P（x₀，y₀）处的切线方程为：
y=（-

1

2

x₀+