Question

已知函数f（x）=x-alnx在x=1处取得极值．（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）+2x=x 2 +b在[

已知函数f（x）=x-alnx在x=1处取得极值．（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）+2x=x 2 +b在[ 1 2 ，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）若?x 1 ∈[ 1 2 ，2]，?x 2 ∈[ 1 2 ，2]，使f（x 1 ）≥x 2 2 +b成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）由数f（x）=x-alnx，所以 f ′ (x)=1- a x ，由题意得，f′（1）=0，所以a=1； （2）由（1）得，f（x）=x-lnx． f（x）+2x=x 2 +b?x-lnx=x 2 +b?x 2 -3x+lnx+b=0． 设g（x）=x 2 -3x+lnx+b，则 g ′ (x)=2x-3+ 1 x = (2x-1)(x-1) x ． 当 x∈(0， 1 2 ) 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x ∈( 1 2 ，1) 时，g′（x）＜0，g（x）单调递减， x∈（1，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增． 所以 g(x ) min =g(1)=b-2，g( 1 2 )=b- 5 4 -ln2 ，g（2）=b-2+ln2． 方程f（x）+2x=x 2 +b在[ 1 2 ，2]上恰有两个不相等的实数根，则 g( 1 2 )≥0 g(1)＜0 g(2)≥0 ，解得 5 4 +ln2≤b＜2 ； （3）?x 1 ∈[ 1 2 ，2]，?x 2 ∈[ 1 2 ，2]，使f（x 1 ）≥x 2 2 +b成立，等价于 x∈[ 1 2 ，2] 时， f(x ) min ≥( x 2 +b ) min ． 由 f ′ (x)= x-1 x ， 1 2 ≤x＜1 时f′（x）0． 所以f（x）在 [ 1 2 ，1) 上位减函数，在（1，2]上为增函数． 所以f（x） min =f（1）=1． 而y=x 2 +b在x∈ [ 1 2 ，2] 上的最小值为 1 4 +b ． ∴ 1 4 +b≤1 ，∴b ≤ 3 4 ． ∴b的取值范围为 (-∞， 3 4 ] ．