Question

设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n项和．已知S 3 =7，且a 1 +3，3a 2 ，a 3 +4构成

设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n项和．已知S 3 =7，且a 1 +3，3a 2 ，a 3 +4构成等差数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令 b n = 1 n(n+1) + a 2n ，n=1，2，… ，求数列{b n }的前n项和T n ．

Answer 1

（1）由已知得 ： a 1 + a 2 + a 3 =7 ( a 1 +3)+( a 3 +4) 2 =3 a 2 . 解得a 2 =2． 设数列{a n }的公比为q，由a 2 =2，可得 a 1 = 2 q ， a 3 =2q ． 又S 3 =7，可知 2 q +2+2q=7 ， 即2q 2 -5q+2=0， 解得 q 1 =2， q 2 = 1 2 ． 由题意得q＞1，∴q=2．∴a 1 =1． 故数列{a n }的通项为a n =2 n-1 ． （2） b n = 1 n(n+1) + a 2n = 1 n(n+1) + 2 2n-1 T n =（ 1 1×2 +2）+（ 1 2×3 +2 3 ）+…+[ 1 n×(n+1) +2 2n-1 ] =[ 1 1×2 + 1 2×3 +…+ 1 n×(n+1) ] +（2+2 3 +…+2 2n-1 ） =[（1- 1 2 ）+（ 1 2 -  1 3 ）+…+（ 1 n - 1 n+1 ）]+ 2(1- 4 n ) 1-4 =（1- 1 n+1 ）+ 2( 4 n -1) 3 = 2 2n+1 3 +  1 3 -  1 n+1