Question

已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且此焦点和x轴上的较近端点的距离

已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且此焦点和x轴上的较近端点的距离为4（ 2 -1），求椭圆方程．

Answer 1

∵椭圆的中心在原点，焦点在x轴上， ∴设椭圆的方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （a＞b＞0）， 设短轴的两个端点分别为A、B，左右焦点分别为F 1 、F 2 ，连结AF 2 、BF 2 ． ∵一个焦点与短轴两端点连线互相垂直， ∴AF 2 ⊥BF 2 ， 根据椭圆的对称性得到△ABF 2 是等腰直角三角形，可得|OA|=|0F 2 |． ∴b=c，即 a 2 - c 2 =c…①， 又∵焦点和x轴上的较近端点的距离为4（ 2 -1）， ∴a-c=4（ 2 -1）…②， 联解①②可得a=4 2 ，c=4，可得a 2 =32，b 2 =c 2 =16 所求椭圆的方程为 x 2 32 + y 2 16 =1 ．