Question

已知函数f(x)＝ x 3 ＋ax 2 ＋bx(a，b∈R)．(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(1)＝ ，且函数

已知函数f(x)＝ x 3 ＋ax 2 ＋bx(a，b∈R)．(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(1)＝ ，且函数f(x)在 上不存在极值点，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当b≥1时，f(x)的增区间为(－∞，＋∞)；当b<1时，f(x)的增区间为(－∞，－1－ )，(－1＋ ，＋∞)；减区间为(－1－ ，－1＋ )．（2）(－∞，0]

(1)当a＝1时，f′(x)＝x 2 ＋2x＋b. ①若Δ＝4－4b≤0，即b≥1时，f′(x)≥0， 所以f(x)为(－∞，＋∞)上为增函数，所以f(x)的增区间为(－∞，＋∞)； ②若Δ＝4－4b>0，即b<1时，f′(x)＝(x＋1＋ )(x＋1－ )， 所以f(x)在(－∞，－1－ )，(－1＋ ，＋∞)上为增函数，f(x)在(－1－ ，－1＋ )上为减函数． 所以f(x)的增区间为(－∞，－1－ )，(－1＋ ，＋∞)，减区间为(－1－ ，－1＋ )． 综上，当b≥1时，f(x)的增区间为(－∞，＋∞)；当b<1时，f(x)的增区间为(－∞，－1－ )，(－1＋ ，＋∞)；减区间为(－1－ ，－1＋ )． (2)由f(1)＝ ，得b＝－a， 即f(x)＝ x 3 ＋ax 2 －ax，f′(x)＝x 2 ＋2ax－a. 令f′(x)＝0，即x 2 ＋2ax－a＝0，变形得(1－2x)a＝x 2 ， 因为x∈ ，所以a＝ . 令1－2x＝t，则t∈(0，1)， ＝ . 因为h(t)＝t＋ －2在t∈(0，1)上单调递减，故h(t)∈(0，＋∞)． 由y＝f(x)在 上不存在极值点，得a＝ 在 上无解，所以，a∈(－∞，0]． 综上，a的取值范围为(－∞，0]