Question

设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）对任意的u，v∈[-1

设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|。（1）证明：对任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；（2）判断函数 是否满足题设条件； （3）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v，若存在，请举一例；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由题设条件可知，当 时，有 即 。 （2）函数g（x）满足题设条件，验证如下： 对任意的 当 时，有 当 时，同理有 当 ，不妨设 有 所以，函数g（x）满足题设条件。 （3）这样满足的函数不存在，理由如下： 假设存在函数f（x）满足条件，则由 得 ① 由于对任意的 ，都有 所以， ② ①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在。