Question

已知AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，CD垂直AB，圆O1切半圆于Q，切CD于P，切AB于R，

已知AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，CD垂直AB，圆O1切半圆于Q，切CD于P，切AB于R，求证：BC=BR。

Answer 1

证明：

连接AC

∵AB是⊙O的直径

∴∠ACB=90°

∵CD⊥AB

∴∠CDB=90°=∠ACB

又∵∠B=∠B

∴△ACB∽△CDB（AA）

∴AB/BC=BC/BD

∴BC^2=BD×AB

∵⊙O1与CD、AB相切

∴∠O1PD=∠O1RD=90°=∠PDR

∴四边形O1RDP是矩形

∵O1R=O1P

∴四边形O1PDP是正方形

∴RD=O1R

∵⊙O与⊙O1相切于Q

∴点Q、O1、O在同一直线上

设⊙O的半径为R，⊙O1的半径为r

则OO1=R-r，O1R=RD=r

OR=√（OO1^2-O1R^2）=√（R^2-2Rr）

BD=OB-OD=OB-(RD-OR)=R-r+√（R^2-2Rr）

BC^2=BD×AB=[R-r+√(R^2-2Rr)]×2R=2R^2-2Rr-2R√(R^2-2Rr)

BR^2=(OB+OR)^2=[R+√(R^2-2Rr)]^2=2R^2-2Rr-2R√(R^2-2Rr)

∴BC^2=BR^2

∴BC=BR