已知AB为半圆O的直径,C为半圆上的一点,CD垂直AB,圆O1切半圆于Q,切CD于P,切AB于R,
已知AB为半圆O的直径,C为半圆上的一点,CD垂直AB,圆O1切半圆于Q,切CD于P,切AB于R,求证:BC=BR。...
已知AB为半圆O的直径,C为半圆上的一点,CD垂直AB,圆O1切半圆于Q,切CD于P,切AB于R,求证:BC=BR。
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证明:
连接AC
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∵CD⊥AB
∴∠CDB=90°=∠ACB
又∵∠B=∠B
∴△ACB∽△CDB(AA)
∴AB/BC=BC/BD
∴BC^2=BD×AB
∵⊙O1与CD、AB相切
∴∠O1PD=∠O1RD=90°=∠PDR
∴四边形O1RDP是矩形
∵O1R=O1P
∴四边形O1PDP是正方形
∴RD=O1R
∵⊙O与⊙O1相切于Q
∴点Q、O1、O在同一直线上
设⊙O的半径为R,⊙O1的半径为r
则OO1=R-r,O1R=RD=r
OR=√(OO1^2-O1R^2)=√(R^2-2Rr)
BD=OB-OD=OB-(RD-OR)=R-r+√(R^2-2Rr)
BC^2=BD×AB=[R-r+√(R^2-2Rr)]×2R=2R^2-2Rr-2R√(R^2-2Rr)
BR^2=(OB+OR)^2=[R+√(R^2-2Rr)]^2=2R^2-2Rr-2R√(R^2-2Rr)
∴BC^2=BR^2
∴BC=BR
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