Question

计算不定积分

Answer 1

前面的过程是你自己写的吧？该解法（令 x=sect）并不错，
只是最后的表达式形式不同而已，本质是一样的。
这是由于有公式 arcsinx + arccosx = π/2 。（-1 ≤ x ≤ 1）

Answer 2

令u=x+1/x

u'=1-1/x^2

注意到(x-1/x^3)/(1-1/x^2)=(x^4-1)/(x^3-x)=(x^2+1)/x=x+1/x=u

故原式=∫ue^udu
简单的分布积分

=ue^u+e^u+c
将u=x+1/x带入即可。

ps：积分中含e^f(x)，或是sinf(x)，cosf(x)一般都需要将f(x)令为u来解。

Answer 3

∫sin^4x dx
=∫(1-cos^2x )sin^2xdx
=∫sin^2xdx-1/4∫(sin2x)^2dx
=1/2∫(1-cos2x)dx-1/8∫(1-cos4x)dx
=1/2x-1/2sin2x-1/8x+1/4sin4x+C
=3/8x-1/2sin2x+1/4sin4x+C

Answer 4

第一题，(sint+cost)'=cost-sint。所以d(sint+cost)=(cost-sint)dt。

Answer 5

∫sinx/(1+sinx) dx
=∫[1- 1/(1+sinx)] dx
=x -∫dx/(1+sinx)
=x -∫(1-sinx)/[1-(sinx)^2] dx
=x -∫(1-sinx)/(cosx)^2 dx
=x -∫(secx)^2 dx +∫ [sinx/(cosx)^2] dx
=x -tanx +(1/cosx) +C