Question

如图，已知平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P点作MN∥AD，EF∥CD，分别交AB、CD、AD、BC于M、N

如图，已知平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P点作MN∥AD，EF∥CD，分别交AB、CD、AD、BC于M、N、E、F，设a=PM?PE，b=PN?PF．（1）请判断a与b的大小关系，并说明理由；（2）当BPPD＝2时，求S平行四边形PEAMS△ABD的值．

Answer 1

（1）a=b
理由：∵BC∥AD
∴△PDE∽△PBF
∴

PE

PF

＝

PD

PB

∵AB∥CD
∴△PDN∽△PBM
∴

PN

PM

＝

PD

PB

∴

PE

PF

＝

PN

PM

∴PM?PE=PN?PF
∴a=b；

（2）∵

BP

PD

=2
∴

S△PBF

S△PDE

=

4

1

，
∵MN∥AD，EF∥CD，
∴四边形BFPM是平行四边形
∴△PBF≌△BPM
∴

S△BPM

S△PDE

=

S△PBF

S△PDE

=

4

1

，
∴S_△BPM=4S_△PDE
∵

BP

PD

=2
∴

BP

BD

=

2

3

∴

S△BPM

S△BDA

=

4

9

，
∴S_△BPM=

4

9

S_△BDA，
∵S_△PDE=

1

4

S_△BPM=

1

9

S_△BDA，
∴S_{四边形PEAM}=

4

9

S_△BDA
∴

S平行四边形PEAM

S△ABD

=

4

9

．