Question

已知函数f（x）=12x2+alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=-1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间

已知函数f（x）=12x2+alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=-1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）+1x在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=

1

2

x²-lnx，x＞0，
∴f′（x）=x-

1

x

=

(x+1)(x-1)

x

令f′（x）=0，解得x=1，
当x＞1时，f′（x）＞0，函数单调递增，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数单调递减，
故当x=1时，函数有极小值，极小值为f（1）=

1

2

；
（Ⅱ）∵f′（x）=x+

a

x

=

x2+a

x

，
当a≥0时，f′（x）＞0，故函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），
当a＜0时，
令f′（x）=

x2+a

x

=0，解得x=

-a

，
当x＞

-a

时，f′（x）＞0，函数单调递增，
当0＜x＜

-a

时，f′（x）＜0，函数单调递减，
综上所述，当a≥0时，函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），
当a＜0时，函数f（x）的单调增区间为（

-a

，+∞），单调减区间为（0，

-a

），
（Ⅲ）∵g（x）=f（x）+

1

x

，
∴g（x）=f（x）+

1

x

，
∴g（x）=

1

2

x²+alnx+

1

x

，
∴g′（x）=x+

a

x

-

1

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