Question

（2014?南充一模）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3

（2014?南充一模）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求四棱锥B-AA1C1D的体积．

Answer 1

（1）证明：连接B₁C，设B₁C与BC₁相交于点O，连接OD，
∵四边形BCC₁B₁是平行四边形，
∴点O为B₁C的中点．
∵D为AC的中点，
∴OD为△AB₁C的中位线，
∴OD∥AB₁．（3分）
∵OD?平面BC₁D，AB₁?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D．（6分）
（2）∵AA₁⊥平面ABC，AA₁?平面AA₁C₁C，
∴平面ABC⊥平面AA₁C₁C，且平面ABC∩平面AA₁C₁C=AC．
作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA₁C₁C，（8分）
∵AB=BB₁=2，BC=3，
在Rt△ABC中，AC＝

AB2+BC2

＝

4+9

＝

13

，BE＝

AB?BC

AC

＝

6

13

，（10分）
∴四棱锥B-AA₁C₁D的体积V＝

1

3

×

1

2

(A1C1+AD)?AA1?BE（12分）=

1

6

×

3

2

13

×2×

6

13

=3．
∴四棱锥B-AA₁C₁D的体积为3．（14分）