Question

设等差数列{an}的前n项和为Sn．且S4=4S2，a2n=2an+1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列{bn}满足：b1

设等差数列{an}的前n项和为Sn．且S4=4S2，a2n=2an+1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列{bn}满足：b1=3，bn-bn-1=an+1（n≥2），求数列{1bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）设等差数列的首项为a₁，公差为d，则4a₁+

4×3

2

d=4（2a₁+d），a₁+（2n-1）d=2a₁+2（n-1）d+1，解得a₁=1，d=2
∴a_n=2n-1．
（2）数列{b_n}满足：b₁=3，b_n-b_n-1=a_n+1，
∴b_n-b_n-1=2n+1
∴b₂-b₁=2×2+1，
b₃-b₂=2×3+1，
…
b_n-b_n-1=2n+1，
累加可得，
∴b_n-b₁=2（2+3+4+…+n）+n-1=n²+n-2+n-1，
∴b_n=n²+2n=n（n+2），
验证当n=1时，b₁=1+2=3，成立
∴

1

bn

=

1

2

（

1

n

?

1

n+2

）
∴T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

?

1

4

）+…（

1

n?1

-

1

n+1

）+（

1

n

?

1

n+2

）]
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

4

-

2n+3

2n2+6n+4