Question

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点．（1）试判断b与c的积是正数还是负数，为什么？（2）如果AB=4，且当抛物线y=-x2+bx+c的图象向左平移一个单位时，其顶点在y轴上．①求原抛物线的表达式；②设P是线段OB上的一个动点，过点P作PE⊥x轴交原抛物线于E点．问：是否存在P点，使直线BC把△PCE分成面积之比为3：1的两部分？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由图象知：c＞0，且x=-

b

?2

＞0，即b＞0，
因此bc＞0，

（2）由题意知：原抛物线的对称轴为x=1，
∵AB=4，
∴A（-1，0），B（3，0），
已知A、B均在原抛物线上，则有：

?1?b+c＝0 ?9+3b+c＝0

，
解得

b＝2 c＝3

，
∴原抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．

②如图：设直线BC与PE的交点为F，
由于△CEF和△CPF等高，因此面积比等于EF和PF的比．
易知：直线BC的解析式为：y=-x+3，
设P点坐标为（m，0），（m＞0）则有E（m，-m²+2m+3），F（m，-m+3），
∴EF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m=m（-m+3），PF=-m+3，
①当EF：PF=3：1时，

m(?m+3)

?m+3

=

3

1

，解得m=3，经检验m=3是增根，不合题意舍去；
②当EF：PF=1：3时，

m(?m+3)

?m+3

=

1

3

，解得m=

1

3

，经检验m=

1

3

是原方程的解．
∴存在符合条件的P点，且坐标为P（

1

3

，0）．