Question

有关高等数学极限的题，答案是 -2/3，可是我不知道我哪算错乐。。。求解释

Answer 1

第3步分母的sin^2x弄丢了。
（x^2cos^2x-sin^2x)/x^2sin^2xcos^2x
=（x^2cos^2x-sin^2x)/0.25x^2sin^2(2x)
由cos2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x得：
cos^2x=(1+cos2x)/2,sin^2x=(1-cos2x)/2
代入得：
（x^2(1+cos2x)/2-(1-cos2x)/2)/[0.25x^2(1-cos4x)/2]
=4(x^2+x^2cos2x-1+cos2x)/[x^2-x^2cos4x)]
0/0型，用洛必达法则
->4(2x+2xcos2x-2x^2sin2x-2sin2x)/[2x-2xcos4x+4x^2sin4x)]
=4(x+xcos2x-x^2sin2x-sin2x))/[x-xcos4x+2x^2sin4x)]
0/0型，继续用洛必达法则
->4(1+cos2x-2xsin2x-2xsin2x-2x^2cos2x-2cos2x)/[1-cos4x+4xsin4x+4xsin4x+8x^2cos4x]
=4(1-4xsin2x-2x^2cos2x-cos2x)/[1-cos4x+8xsin4x+8x^2cos4x]
0/0型，继续用洛必达法则
->4(-4sin2x-8xcos2x-4xcos2x+4x^2sin2x+2sin2x)/[4sin4x+8sin4x+32xcos4x+16xcos4x-32x^2sin4x]
=(-2sin2x-12xcos2x+4x^2sin2x)/[3sin4x+12xcos4x-8x^2sin4x]
0/0型，继续用洛必达法则
->(-4cos2x-12cos2x+24xsin2x+8xsin2x+16x^2cos2x)/[12cos4x+12cos4x-48xsin4x-16xsin4x-32x^2cos4x]
=(-16cos2x+32xsin2x+16x^2cos2x)/[24cos4x-64xsin4x-32x^2cos4x]
->-16/24=-2/3

Answer 2

原理很简单加减法中不能使用等价代换，关键还的看余项是否为0.
第三步的sinx^2不能直接换成x^2

因为sinx^2等价于x^2是是说lim(sinx^2)/x^2=1
也就是说(sinx^2)/x^2=1+o(x^2)
但现在下面还有分母
(sinx^2)/x^4=1/x^2+o(x^2)/x^4 而o(x^2)/x^4的极限不一定是0
若改成(sinx^2)/x^4=[x^2-x^4/6+o(x^4)]/x^4=1/x^2-1/6+o(x^4)/x^4 没问题。
你就是少了这个1/6

Answer 3

第三步的sinx^2不能直接换成x^2

追问

为什么阿

追答

只用在乘除时候才能用重要极限

Answer 4

没见过在加减的时候用重要极限，三思三思。

追答

而且最后一行，等价无穷小代换 应该有个系数-1/2